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三角函数图形的平移与伸缩

2020-06-14 12:44:55 来源 : 办公要闻 点击 : 381


在将角度转换成弧度之后,对于实数 \(x\),我们都可以将其考虑成弧度,进一步定义它的某个三角函数值。例如正弦函数,对每一个实数 \(x\),定义 \(f(x)=\sin x\)。定义完六个三角函数之后,可以利用描点的方式绘出函数图形。

例如 \(y=f(x)=\sin x\) 的图形如下:    三角函数图形的平移与伸缩接下来,笔者将以 \(f(x)=\sin x\) 的图形为例,来说明三角函数图形的平移与伸缩如何作图,

以及平移与伸缩对图形的基本特徵如週期、振幅与极值的影响。

图形的平移

首先,考虑 \(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 与图形 \(y=\sin x\) 的关係。

因为 \(x\) 方向有变动,因此可考虑对应 \(y\) 值为 \(0,1,0,-1,0\) 这几个点的 \(x\) 值,如下表:

三角函数图形的平移与伸缩

描点绘出图形如下图中红色之曲线,

可以看出其与 \(y=\sin x\) 图形的关係,为 \(y=\sin x\) 图形向左平移 \(\frac{\pi}{2}\)。

三角函数图形的平移与伸缩

从上图中也可看出红色的曲线 \(y=\sin{(x+\frac{\pi}{2})}\) 的图形,与  \(y=\cos x\) 的图形可完全重合,

因此可知 \(y=\sin x\) 的图形往左移 \(\frac{\pi}{2}\),即可得到 \(y=\cos x\) 的图形。

由正弦与余弦的关係亦可得到它们图形的这个特性,因为 \(\sin{(x+\frac{\pi}{2})}=\cos x\)。

从这个例子推广,考虑 \(y=\sin{(x-c)}\) 与图形 \(y=\sin x\) 的关係,

以 \(y=\sin x\) 图形为基础,\(c>0\) 时,图形往右移 \(c\) 单位;当 \(c<0\) 时,图形往左移 \(c\) 单位。

接着是 \(y\) 方向的平移,考虑 \(y=\sin x+1\) 与 \(y=\sin x\) 两图形的关係。

先利用描点绘出 \(y=\sin x +1\) 的图形:

三角函数图形的平移与伸缩 三角函数图形的平移与伸缩

绘出图形如上右图中红色之曲线,

可以看出其与 \(y=\sin x\) 图形的关係,为 \(y=\sin x\) 图形向上平移 \(1\) 单位,

此时函数的极大值为变为 \(2\),极小值为 \(0\)。

从这个例子推广,考虑 \(y=\sin x+d\) 与图形 \(y=\sin x\) 的关係,

以图形 \(y=\sin x\) 为基础,\(d>0\) 时,图形往上移 \(d\) 单位;

当 \(d<0\) 时,图形往下移 \(d\) 单位,此时函数的极值会产生变化。

图形的伸缩

考虑 \(y=\sin{2x}\) 与 \(y=\sin x\) 图形的关係。

因为 \(x\) 方向有变动,因此可考虑对应 \(y\) 值为 \(0,1,0,-1,0\) 这几个点的 \(x\) 值,如下表:

三角函数图形的平移与伸缩三角函数图形的平移与伸缩

描点绘出图形如上右图中红色之曲线,可以看出与 \(y=\sin x\) 图形的关係,

其图形为 \(y=\sin x\) 图形以原点为伸缩中心,\(x\) 方向伸缩 \(\frac{1}{2}\) 倍(\(x’=\frac{1}{2}x\))。

因此原本 \(y=\sin x\) 图形的週期为 \(2\pi\),经过压缩,可得 \(y=\sin{2x}\) 图形的週期为 \(\frac{2\pi}{2}=\pi\)。

从这个例子推广,考虑当 \(b>0\) 时, \(y=\sin(bx)\) 与 \(y=\sin x\) 图形的关係,

以 \(y=\sin x\) 图形为基础,原点为伸缩中心,作 \(x\) 方向的伸缩,其週期变为 \(\frac{2\pi}{b}\)。

当 \(b<0\) 时,只须再考虑对 \(x\) 轴作对称即可,

以 \(y=\sin{(-2x)}=-\sin{2x}\) 为例,其图形如下:

三角函数图形的平移与伸缩

接着是 \(y\) 方向的伸缩。考虑考虑 \(y=2\sin x\) 与 \(y=\sin x\) 两图形的关係。

先利用描点绘出 \(y=2\sin x\) 的图形:

三角函数图形的平移与伸缩 三角函数图形的平移与伸缩

绘出图形如上右图中红色之曲线,可以看出其与 \(y=\sin x\) 图形的关係,

为 \(y=\sin x\) 图形以原点为伸缩中心,\(y\) 方向伸缩 \(2\) 倍(\(y’=2y\))。

因此原本 \(y=\sin x\) 图形的振幅为 \(1\),经过伸缩,可得 \(y=2\sin x\) 图形的振幅 \(1\times 2=2\)。

从这个例子推广,考虑当 \(a>0\) 时,\(y=a\sin x\) 与 \(y=\sin x\) 图形的关係,

以 \(y=\sin x\) 图形为基础,原点为伸缩中心,作 \(y\) 方向的伸缩,其振幅变为 \(a\)。当 \(a<0\) 时,

只须再考虑对 \(x\) 轴作对称即可,以 \(y=-2\sin x\) 为例,其图形如下:

三角函数图形的平移与伸缩

当 \(x\) 方向的平移与伸缩同时进行时,要特别注意其平移量的多寡。

例如 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 的图形,考虑原本 \(y=\sin x\) 图形中之 \((0,0)\) 这个点的变化,

当 \(2x-\frac{\pi}{2}=0\) 时,\(y=0\),此时 \(2x=\frac{\pi}{2},x=\frac{\pi}{4}\),

亦即 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 为 \(y=\sin x\) 的图形右移 \(\frac{\pi}{4}\) 后再作 \(x\) 方向伸缩 \(\frac{1}{2}\) 倍。

也就是说,要将 \(y=\sin{(2x-\frac{\pi}{2})}\) 化成 \(y=\sin{(2(x-\frac{\pi}{4}))}\) 来考虑。

综合论之,考虑 \(y=a\sin{[b(x-c)]}+d\) 图形与 \(y=\sin x\) 图形的关係,

在原本的 \(y=\sin x\) 图形中,振幅变为 \(|a|\) 倍;週期变为 \(\frac{2\pi}{|b|}\);

当 \(c>0\) 时,往右移 \(c\) 单位,当 \(c<0\) 时,往左移 \(c\) 单位;

当 \(d>0\) 时,往上移 \(d\) 单位,当 \(d<0\) 时,往下移 \(d\) 单位,此时函数的极值会产生变化。

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