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三角函数值表

2020-06-14 12:44:53 来源 : 会议早报 点击 : 505

三角函数值表:现行的三角函数值表,是将三角函数的近似值算出并製成表格,表从 $$0^\circ$$ 到 $$90^\circ$$ 间(以 $$10’$$ 为单位,$$1^\circ=60’$$)的各种三角函数值,超过 $$90^\circ$$ 或小于 $$0^\circ$$ 的角,再利用广义角的性质转换。表中最左一行由上而下呈现的角度是递增情形,对应最上一列由左而右有 $$\sin$$$$\cos$$、$$\tan$$、$$\cot$$、$$\sec$$、$$\csc$$ 各个函数符号;表中最右一行由下而上呈现的角度是递增情形,对应最下一列由左而右印有 $$\cos$$、$$\sin$$、$$\cot$$、$$\tan$$、$$\csc$$ 和 $$\sec$$ 各个函数符号,因此,查表的简易口诀为「左上右下」,下图一为三角函数值表的部分表格。

三角函数值表

图一$$~~~$$三角函数值表的部分表格

根据上表得知:

$$\sin 12^\circ 50′ = 0.2221$$,$$\cos 12^\circ 50′ = 0.9750$$,$$\tan 12^\circ 50′ = 0.2278$$,$$\cot 12^\circ 50′ = 4.3897$$,$$\sec 12^\circ 50′ = 1.0256$$,$$\csc 12^\circ 50′ = 4.5022$$;

利用余角关係

$$\sin ({90^\circ}-\theta ) = \cos \theta$$,$$\cos({90^\circ}-\theta ) = \sin \theta$$,$$\tan ({90^\circ}-\theta ) = \cot \theta$$,$$\cot ({90^\circ}-\theta ) = \tan \theta$$,$$\sec ({90^\circ}-\theta ) = \csc \theta$$,$$\csc ({90^\circ}-\theta ) = \sec \theta$$
及 $$90^\circ-12^\circ 50’=77^\circ 10’$$,

可查出

$$\sin 77^\circ 10’=0.9750$$,$$\cos 77^\circ 10’=0.2221$$,$$\tan 77^\circ 10’=4.3897$$,$$\cot 77^\circ 10’=0.2278$$,$$\sec{77^\circ}10’=4.5022$$,$$\csc 77^\circ 10’=1.0256$$。

因此,在查三角函数时需注意「左上右下」这个特殊结构。

至于角度非 $$10’$$ 的倍数时,可利用内插法,方法是先找相邻两角的三角函数值,然后利用线性的比例关係求知得近似值,

例如:求 $$\sin 12^\circ 53’=?$$

可先查表知 $$\sin 12^\circ 50’=0.2221$$,$$\sin 13^\circ 00’=0.2225$$

再利用内插法,得 $$\displaystyle\frac{{\sin {{12}^\circ}53′ – 0.2221}}{{0.2225 – 0.2221}} = \frac{{{{12}^\circ}53′ – {{12}^\circ}50′}}{{{{13}^\circ}00′ – {{12}^\circ}50′}} = \frac{3}{{10}}$$,

移项可得 $$\sin 12^\circ 53′-0.2221=0.00012$$,则 $$\sin 12^\circ 53’=0.22222\approx 0.2222$$。

遇到广义角的处理方式,则先转换成锐角三角函数,再利用查表,重複上述动作,即可完成。

古代中国的《九执曆》中有球面三角推算月食时月球离黄道的度数,其中有「推月间量命」记载,号为中国最早的三角(正弦)函数值表,英国科学史家李约瑟博士(Joseph Needham, 1900-1995)称之为「三角学的最早形态」,原引文如下:

推月间量命:段法,凡一段管三度四十五分,每八段管一相,总有二十四段,用管三相,其段下例注者,是积段并成之数。第一段,二百二十五……

因为在《九执曆》中一圆周为 $$360$$ 度,每度再细分 $$60$$ 分,则 $$360^\circ=21600’$$,以 $$2\pi$$ 除之,若 $$\pi$$ 取 $$3.14$$,商数为 $$3439.4904’$$;若 $$\pi$$ 取 $$3.1416$$,商数为 $$3437.7387’$$,因为「第二十四段,七,并三千四百三十八。」可见《九执曆》中圆周率 $$\pi$$ 的近似值取 $$3.1416$$,上引文中的二十四段,即将 $$90^\circ/24=3.75^\circ=3^\circ 45’$$,第一句话「第一段,二百二十五」即 $$\sin 3^\circ 45’=\frac{225}{3438}=0.06544$$。

段数角度$$\theta$$3438$$\sin\theta$$$$\sin\theta^1$$正确正弦值误差数1$$3^\circ45’$$2250.06540.06550.0001

1  此处的正弦函数值取至小数点后第四位,小数点后第五位四捨五入。

除了中国古算书《九执曆》的记载之外,清代也有曆书文本呈现三角函数值表, 下图二就是一份蒙古的数学文本,所呈现的三角函数值的角度介于 $$44^\circ 30’$$ 到$$45^\circ 00’$$, 根据数学史家严敦杰的研究, 这份文本可回溯至 1712 年的汤若望《崇祯曆书》改版本。2

三角函数值表

图二$$~~~$$《崇祯曆书》中的三角函数值表

至于希腊天文学家托勒密是如何编制弦表?详情可以参阅蔡聪明,〈星空灿烂的数学(Ι)-托勒密如何编制弦表?〉,《数学传播》,23卷2期(民88年6月),页57-67,文中对于弦表的导出过程,有完整的呈现。


参考资料


2  此处的正弦函数值取至小数点后第四位,小数点后第五位四捨五入。

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