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数学史与数学教学之关连

2020-07-12 19:33:34 来源 : 事例家居 点击 : 911

HPM(International Study Group on the Relations between History and Pedagogy)是国际数学教育委员会(ICMI)的一个研究群,现在,我们也将它借用为数学(教育)的一个知识活动。因此,HPM既代表一个组织,也同时简称数学史融入数学教学的一种主张或方法。

数学史与数学教学之关连HPM研究群的组成动机完全出自对于数学的教与学之强烈关怀,因此,它的主要目的在于将数学「教好」或「学好」,而不是让教师或学生去直接去教或学「数学史」,除非课堂中的「数学史」活动,可以切实地提升数学教育的成效。当然,如果因此导致教师或学生对「数学史」如醉如痴,那幺,她(他)们最终一定可以体会「数学史」乃是数学有机体不可分割的一部份,从而为数学的教与学赋予更深刻的意义。

这幺说来,我们又将如何为HPM赋予正当性呢?事实上,HPM的推动者从生物学的「重演说」(recapitulation)找到一种比喻(metaphor),这个学说认为「个体成长重演种系历史,但过程浓缩!」(这一多半仿自皮亚杰的主张当然有其侷限,因此,视之为比喻即可)。正因为儿童心智成长与数学概念的历史发展,「似乎」存在了平行关係(parallelism),所以,一旦教师拥有了数学史的素养,那幺,在他(她)的数学教学中,尤其是面对学生的学习困扰时,应该可以发挥更大的包容。

在数学史家这一边,儿童学习数学的个别经验,往往提供了极珍贵的角度,帮助他们观照数学知识成长的曲折与艰辛!皮亚杰(Jean Piaget)认为儿童认知之个案,帮助吾人有了最好的机会研究逻辑、数学和物理知识等等发展。因为,他相信「知识在逻辑、理性的组织上所取得的进展,与其对应的心理发展过程,具有一种平行性」。

另一方面,皮亚杰的「儿童」也给了科学史家极深刻的启发。科学史家孔恩(T. Kuhm)应邀为一群儿童心理学家演讲因果概念发展时,坦承他所以懂得向过去科学家发问恰当的历史问题,全是拜皮亚杰对儿童的研究所赐。此外,他还追忆他与科学大师A. Koyre初次会面的一段难忘对话:「我兴緻勃勃地对他(Koyre)说,正是皮亚杰的儿童教我如何了解亚里斯多德的物理学。他竟然回答,是亚里斯多德物理学教导他去了解皮亚杰的儿童。」无论如何,他的回答总是确证了我所喜爱的皮亚杰所归纳的看法,那就是:个体知识的心理起源 (psychogenesis) 与科学史之间,的确存在了有意义的关联。

底下,我们打算以三则教学或学习插曲,来说明数学史可以为数学教师在学生认知面向所带来的启发。第一则有关集合论教学,至于第二、三则则是关于符号代数之学习。

数学教育家L. E. Moreno A., G. Waldegg曾以皮亚杰理论为依据,发现墨西哥大学数学系大一、二学生对「无限」的了解仅止于布尔札诺(B. Bolzano)的阶段,亦即他们只能知道一个集合是无限的,而无法像康托尔(G. Cantor)一样,比较两个无限集合的大小!从集合论的历史来看,从布尔札诺到康托尔当然是一个关键,因为人类有史以来首次可以用实无限(actual infinity)来思考,成功地区别无限的等级,正是康托尔的不朽贡献!

李忠哲老师曾提供某国一学生的生活札记一则,兹转述如下:「我每天都几乎有一节数学,我每天都在看黑板,老师写的,自己慢慢的看,算法怎幺算,所以每天几乎都可以理解了几题。假如我有一个题目不懂,就去问○○○(某同学,姑隐其名)怎幺做?他做一遍给我看,我再把我写的这一题写的想法,告诉○○○,他纠正我的写法,我也慢慢的懂了。我对数学有困难的是,不能容忍x, y, z是个数字,并算出一个答案,这是自己面临到的一个困难,无法突破。」这是第一次段考后,该生检讨自己的数学学习时所写下的心声,这次段考範围应该包括一元一次方程式这个单元。乍看之下,我们或许觉得该生是一位学习能力迟钝的少年。不错,他的表达能力确实有待加强(原文有多个错别字,已经过改正),但是他能够精确地叙述他自己对代数符号的困扰,则是极为难能可贵!

数学史与数学教学之关连

1699年康熙皇帝读书像(图片来源:维基百科)

事实上,无法恰当了解代数符号意义的名人,在中外数学史上可多着呢!或许,康熙皇帝最难明白「新代数」,就是一个典型的例子。康熙皇帝曾向法国耶稣会士傅圣泽(J-F. Foucquet, 1665-1741)学习西方新代数,亦即符号代数。他在阅读了傅圣泽所编写的《阿尔热巴拉新法》之后,发表了相当不以为然的评论:「论王道化:朕自起身以来,每日同阿哥等察阿尔热巴拉新法,最难明白,他说比旧法易,看来比旧法愈难,错处亦甚多,鹘突处也不少。前者朕偶尔传于北京西洋人开数表之根,写的极明白,尔将此论抄出,并此书发到京里去,着西洋人共同细察,将不通的文章一概删去。还有言者:甲乘甲、乙乘乙,总无数目,即乘出来亦不知多少,看起来想是此人算法平平尔。」由于康熙皇帝无法完全领悟符号运算的意义,因此,他抗拒了新代数的传入,导致清代中国人到了1850年代李善兰翻译《代数学》(Elements of Algebra,作者是De Morgan),才有机会接触符号代数。

诚然,无论是国一学生的「不能容忍x, y, z是个数字,并算出一个答案」,或者是康熙的「甲乘甲、乙乘乙,总无数目,即乘出来亦不知多少」,显然都指出一个共同的认识论困境,那就是:代表未知数的符号究竟如何认识?然后,学习者才能心无罣碍地操作符号运算!如何恰当地认识代表未知数的符号,被数学教育家认为是介于算术代数之间的一种认知鸿沟 (cognitive gap) 。从数学史实来看,我们国一学生的学习困扰不乏先例。不管我们是否能够更有效地帮助学生克服这一类的困扰,历史的考察总是可以提醒我们:相对于古代数学家,我们今日的学生并没有那幺迟钝啊!

总之,无论是集合论的教学案例也好,或者是符号代数学的教学也好,数学史提供给我们的案例或「教训」(moral)似乎都指出:除了极少数例外,人类认知似乎总有一定的阶段,而且,从此一阶段到下一阶段,也总是需要比较从容的过渡或酝酿。因此,数学史的素养儘管无法保证教学评量的具体成效(如制式的考试成绩),然而,有了数学史的素养,数学教师面对一般学生时,在心态上应该可以比较从容与包容才是。

最后,让我们介绍数学史「融入」数学教室的一些 know-how,供有心採用的教师 参考:

●历史「花絮」(snippets),譬如数学家的遗闻轶事、数学问题的起源以及古今 方法的简单对比等等;

●学生以历史文献为本的研究专案(project work),譬如下列专题「一次方程 式:历史的回顾」、「任意角三等分」、「何谓代数学?」、「函数的历史演化」、「何谓非欧几何?」以及「欧几里得 vs. 刘徽」等等,都可以让学生组成小组,写出专案研究报告;

●数学史的原始文献(primary sources),譬如《几何原本》与《九章算术》的研读与讨论等等;

●工作单或学习单(worksheets),其设计通常围绕着简短的历史选粹(historical extracts),伴随着历史背景的说明,再辅以了解数学知识内容的问题、所涉数学议题的讨论、今昔解法或处理的比较,以及这些选粹中的题解(solving problems)或它们所引发的类似题解;

●可立即供2-3堂课使用的「历史套装」(historical packages),譬如「古代数码与数系」、「古埃及算术」、「圆面积与圆周长」、「巴比伦的二次方程解法」以及「九章算术的分数计算」等等;

●恰当地使用历史上出现的谬误(errors)、另类概念(alternative conceptions)、观点的改变(change of perspective)、隐含假设的修订(revision of implicit assumptions)以及直观论证(intuitive arguments)等等;

●历史上的问题,譬如古希腊三大作图题,Goldbach 猜测,不同文明所提供的毕氏定理证明,以及引出解析数论的质数定理等等;

●历史上曾经出现的画图工具(mechanical instruments);

●回到过去的数学实验活动,譬如使用古代的记号、方法及论证,来学习数学;

●编剧本,譬如「柏拉图 vs. 孔子」、「欧几里得 vs. 刘徽」及「伽罗瓦的悲剧一生」等等;

●电影及其它视觉工具,譬如英国开放大学 (Open University) 所发行的数学史教学影片等等;

●户外数学古蹟的教学活动;

●WWW网路的使用。

以上这些 know-how 的例证无法在此细说,不过,我们在《HPM通讯》(创刊自1998年10月)所陆续发表的相关文章,做了比较详尽的介绍或演示(DEMO)。我们也希望发展更多的例证,来丰富或增添上述 know-how的内容。

当然,根据HPM同行的观察,如果数学教师拥有第一手的贴近古代数学文本的经验,那幺,他们在课堂上融入数学史就会显得更得心应手才是。毕竟教师若可从容地进入古代历史情境,探索文本的意义,那幺,他们就相当于以学习者的身份,从新走过课堂教学内容的古代版本。由于他们必须试着揣摩古代学生(含数学家)的心路历程,因此,教师的数学经验将会更加丰富,从而可以布置的教学活动也必将更加多元了。

参考书目:
Moreno A., L.E. and Waldegg, G.. (1991). “The Conceptual Evolution of Actual Mathematical Infinity”, Educational Studies in Mathematics 22: 211-231.
Piaget, J. and Garcia, R. (1989). Psychogenesis and the History of Science. New York:Columbia University Press.
比尔‧柏林霍夫 / 弗南度‧辜维亚 (2008).《温柔数学史》,台北:博雅书屋。
洪万生 (1991).〈清初西方代数之输入〉,收入洪万生着,《孔子与数学》,台北:明文书局。
洪万生 (2006).〈数学史与代数学习〉,收入洪万生,《此零非比0》(台北:台湾商务印书馆),页171-183。
杨淑芬 (1992).《从皮亚杰的认识论谈数学史与数学教育的关联》,台湾师大数学所硕士论文。

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