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三角函数和与複数

2020-06-14 12:44:53 来源 : 事例家居 点击 : 671

摘要:本文介绍一题旧教材常见的和差化积问题,将其与 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根连结,直接利用图形的对称性即可看出解答。

以下问题为99课纲前高一和差化积常见的练习题,笔者曾经非常不喜欢此题,直至学到了棣美弗定理及 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根后,有了新的看法,故本文上篇的重点不在于发展技巧。和差化积容易衍伸出需要技巧的难题,在99课纲已被删掉,不过此题搭配 $$1$$ 的 $$n$$ 次方根一起看还是很有趣,藉由本文提出与各位分享。

题目:试求 $$\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}$$ 之值。

标準作法

原式 $$S =\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}$$,欲求其值,这是堪称需要一点技巧的题目,相信许多人都依稀记得要乘以其角度公差一半的正弦值,也就是 $$\displaystyle\sin\frac{\pi}{7}$$,则:

$$\begin{array}{ll}\displaystyle S\times\sin\frac{\pi}{7}&=\displaystyle\left(\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}\right)\times\sin\frac{\pi}{7}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(\sin\frac{3\pi}{7}-\sin\frac{\pi}{7} \right )+\left(\sin\frac{5\pi}{7}-\sin\frac{3\pi}{7} \right )+\left(\sin\frac{7\pi}{7}-\sin\frac{5\pi}{7} \right ) \right]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left(-\sin\frac{\pi}{7}+\sin\frac{7\pi}{7}\right)\\&=\displaystyle-\frac{1}{2}\sin\frac{\pi}{7}\end{array}$$

很明显 $$\displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}\neq 0$$,于等号两边同除 $$\displaystyle\sin\frac{2\pi}{7}$$,即可得 $$S=\displaystyle-\frac{1}{2}$$

厉害的民间机构便将其整理成一种题型,当我们看到三角函数级数,其角度成等差数列,且公差为 $$d$$ 时,如 $$S =\cos d+\cos 2d+\cdots+\cos (nd)$$,欲化简其和,可将等式两边同乘 $$\sin\frac{d}{2}$$,则:

$$\begin{array}{ll}\displaystyle S\times\sin\frac{d}{2}&=\displaystyle[\cos d+\cos 2d+\cdots+\cos(nd)]\times\sin\frac{d}{2}\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\left(\sin\frac{3d}{2}-\sin\frac{d}{2} \right )+\left(\sin\frac{5d}{2}-\sin\frac{3d}{2} \right )+\cdots+\left(\sin\frac{(2n+1)d}{2}-\sin\frac{(2n-1)d}{2} \right ) \right]\\&=\displaystyle\frac{1}{2}\left[\sin\frac{(2n+1)d}{2}-\sin\frac{d}{2}\right]\end{array}$$

若 $$(2n+1)d=2\pi$$,可得

$$\displaystyle \sin\frac{(2n+1)d}{2}=\sin\frac{2\pi}{2}=\sin\pi=0$$

此时 $$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}$$,

$$\displaystyle S\times \sin\frac{d}{2}=\frac{1}{2}\left[0-\sin\frac{d}{2}\right]$$

等式两边同除 $$\displaystyle\sin\frac{d}{2}$$,即可得 $$S=-\frac{1}{2}$$

例如:

$$n=1$$,$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{3}$$,$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac{1}{2}$$,这我们早就知道了!

$$n=2$$,$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{5}$$,$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{5}+\cos\frac{4\pi}{5}=-\frac{1}{2}$$

$$n=3$$,$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{7}$$,$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}=-\frac{1}{2}$$

$$n=4$$,$$d=\displaystyle\frac{2\pi}{2n+1}=\frac{2\pi}{9}$$,$$S=\displaystyle\cos\frac{2\pi}{9}+\cos\frac{4\pi}{9}+\cos\frac{6\pi}{9}+\cos\frac{8\pi}{9}=-\frac{1}{2}$$

看图说话

在複数平面上标出「$$1$$ 的七次方根」,其在单位圆上均匀分布且上下对称,所求 $$S =\cos\frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos\frac{6\pi}{7}$$ 即红色三点的实部和,以下简记作Re(红),如图中红色粗线段。

三角函数和与複数

[注] 为何「红+绿+蓝=0」,即为何此七根和为 $$0$$ 呢,以下给予两种说明,

简单延伸

若有以上的概念,便可以变种出很多类似的题目,例如:

三角函数和与複数

连结:三角函数积与複数


延伸阅读:

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